فضای متریک

فرض کنیم \( X \) مجموعه‌ای دلخواه باشد. تابع

$$ d : X \times X \longrightarrow \mathbb{R} $$

را یک متریک یا متر روی \( X \) می‌نامیم هرگاه شرایط زیر برقرار باشد:

i) به ازای هر \( x , y \in X \) داشته باشیم: $$ d(x,y) \ge 0 $$

ii) به ازای هر \( x , y \in X \) داشته باشیم: $$ d(x,y) = 0 \iff x = y $$

iii) به ازای هر \( x , y \in X \) داشته باشیم: $$ d(x,y) = d(y,x) $$

iv) به ازای هر \( x , y , z \in X \) داشته باشیم: $$ d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) $$ (نامساوی مثلث)

در صورتی که d یک متر روی \( X \) باشد \((X,d)\) یک فضای متریک می‌نامیم و می‌گوییم فضای \( X \) به متر d مجهز شده است.

انواع مهم متریک‌ها روی \(\mathbb{R}^n\)

متریک‌های زیر روی فضای \(\mathbb{R}^n\) تعریف می‌شوند و همگی هم‌ارز توپولوژیکی هستند (یعنی توپولوژی یکسانی تولید می‌کنند):

• متریک اقلیدسی : \[ d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \] شکل گوی واحد در \(\mathbb{R}^2\): دایره
• متریک منهتن : \[ d_1(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| \] شکل گوی واحد در \(\mathbb{R}^2\): لوزی (الماس)
• متریک بیشینه : \[ d_\infty(x,y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i| \] شکل گوی واحد در \(\mathbb{R}^2\): مربع

نکته: اگرچه شکل گوی‌های واحد در این متریک‌ها متفاوت است، اما همگی توپولوژی استاندارد \(\mathbb{R}^n\) را القا می‌کنند.

متریک گسسته

متریک گسسته روی هر مجموعه‌ی \(X\) به صورت زیر تعریف می‌شود:

این تابع تمام خواص یک متریک را دارد: نامنفی بودن، تقارن و نابرابری مثلثی.

ویژگی مهم: متریک گسسته توپولوژی گسسته ایجاد می‌کند؛ یعنی هر زیرمجموعه از \(X\) باز است و هر نقطه یک همسایگی جداگانه دارد.

نرم (Norm): یک تابع روی فضای برداری \(V\) است که به هر بردار \(v \in V\) یک عدد غیرمنفی نسبت می‌دهد: \[ \|v\| \ge 0 \] و شرایط زیر را دارد:

• صفر فقط برای بردار صفر: \(\|v\| = 0 \iff v = 0\)
• همسانی با ضرب اسکالر: \(\|\alpha v\| = |\alpha| \cdot \|v\|\)
• نابرابری مثلث: \(\|v + w\| \le \|v\| + \|w\|\)

رابطه با فضای متریک: با داشتن یک نرم \(\|\cdot\|\)، می‌توان فاصله بین دو نقطه \(x, y \in V\) را تعریف کرد: \[ d(x, y) = \|x - y\| \] این فاصله یک متریک است و مجموعه‌های باز بر اساس آن، یک فضای متریک می‌سازند.

انواع متریک‌های معروف در \(\mathbb{R}^n\) :

• \(\ell_1\) (منهتن): \(d_1(x,y) = \sum_i |x_i - y_i|\)
• \(\ell_2\) (اقلیدسی): \(d_2(x,y) = \sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2}\)
• \(\ell_\infty\) (چبیشف/بیشینه): \(d_\infty(x,y) = \max_i |x_i - y_i|\)
• متریک مینکوفسکی \((\ell_p)\): \[ d_p(x,y) = \left( \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p \right)^{1/p}, p \ge 1 \] که متریک‌های \(\ell_1\)، \(\ell_2\) و \(\ell_\infty\) حالت‌های خاص آن هستند.

نکته: در \(\mathbb{R}^n\)، تمام متریک‌های \(\ell_p\) با \(p \ge 1\) توپولوژی یکسانی تولید می‌کنند، ولی شکل گوی واحد آنها متفاوت است. در این شبیه‌ساز می‌توانید با تغییر Norm (p) شکل گوی واحد و نام فضای متریک مربوطه را مشاهده کنید.

مجموعه‌ای داریم همراه با تابع فاصله d(x,y) که برای هر دو نقطه در آن مجموعه تعریف شده. این تابع اگر سه خاصیت اصلی را (نامنفی بودن _ تقارن _ نامساوی مثلث) داشته باشد، متریک نامیده می‌شود و مجموعه با این تابع، فضای متریک است

در این بخش می‌توانید یک تابع را وارد کنید و بررسی کنید که آیا این تابع می‌تواند «متریک» باشد یا نه!

نکته: این بررسی یک آزمون عددی روی نقاط نمونه است. اگر تابع در این تست رد شود، قطعاً متریک نیست. اما اگر قبول شود، به این معنی است که «به احتمال زیاد» متریک است و برای اثبات کامل، بررسی تحلیلی لازم است.